每日一题[2475]基本量

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $\Gamma$：$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$）．设 $A$ 为 $\Gamma$ 的一个长轴端点，$B$ 为 $\Gamma$ 的一个短牰端点，$F$ 为 $\Gamma$ 的一个焦点．已 知 $\Gamma$ 上存在关于 $O$ 对称的两点 $P, Q$，使得

$$\overrightarrow{F P} \cdot \overrightarrow{F Q}+\overrightarrow{F A} \cdot \overrightarrow{F B}=|A B|^{2}.$$

1、证明：焦点 $F$ 在 $A O$ 的延长线上．

2、求 $\Gamma$ 的离心率的取值范围．

解析

1、不妨设 $A(a,0)$，$B(b,0)$，$F(c,0)$，设 $|OP|=r$，则根据题意，有

$$(c^2-r^2)+(c^2-ac)=a^2+b^2,$$ 整理可得 $$r^2=c(c-a)-2b^2,$$ 因此 $c<0$，从而焦点 $F$ 在 $AO$ 的延长线上．

2、不妨设 $a=1$，$\Gamma$ 的离心率为 $e$，则 $c=-e$，$b^2=1-e^2$，从而

$$r^2=e(e+1)-2(1-e^2)=3e^2+e-2,$$ 而 $r$ 的取值范围是 $[b,a]$，也即 $r^2$ 的取值范围是 $\left[1-e^2,1\right]$，因此 $$1-e^2\leqslant 3e^2+e-2\leqslant 1,$$ 解得 $e$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 34,\dfrac{\sqrt{37}-1}6\right]$．