每日一题[2456]图形割补

设正四棱锥 $P-ABCD$ 的所有棱长均为 $2$，$E,F,G$ 分别为棱 $AD,CD,BP$ 的中点，$P-ABCD$ 被平面 $EFG$ 分成两部分，求其中包含顶点 $P$ 的部分的体积．

答案    $\dfrac{2\sqrt 2}3$．

解析    如图，延长 $EF,BA$ 交于 $H$，延长 $EF,BC$ 交于 $I$，连接 $GH,GI$ 分别与 $PA,PC$ 分别交于 $M,N$，则

$$\dfrac{HA}{AB}=\dfrac{IC}{CB}=\dfrac 12,\quad \dfrac{AM}{AP}=\dfrac{CN}{CP}=\dfrac 14.$$

设 $[P-ABCD]=V=\dfrac{4\sqrt 2}3$，题中所求体积为 $T$，则

$$[M-HAE]=\dfrac{MA}{PA}\cdot \dfrac{[HAE]}{[ABCD]}\cdot [P-ABCD]=\dfrac 1{32}V,$$ 类似的，可得 $[N-ICF]=\dfrac1{32}V$，而 $$[G-HBI]=\dfrac{[HBI]}{[ABCD]}\cdot \dfrac{GB}{PB}\cdot [P-ABCD]=\dfrac9{16}V,$$ 因此 $$V-T+[M-HAE]+[N-ICF]=\dfrac9{16}V\implies T=\dfrac 12V=\dfrac{2\sqrt 2}3.$$