每日一题[2449]构造图形

已知平面向量 $\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c$ 满足 $2\left|\boldsymbol a\right|=\left|\boldsymbol b\right|=2\left|\boldsymbol c\right|=2$，$\boldsymbol a\cdot \boldsymbol b=1$，则 $\left|\boldsymbol a+2\boldsymbol c\right|+\left|\boldsymbol b -\boldsymbol c\right|$ 的取值范围是_______．

答案  $\left[2\sqrt 3,2\sqrt 7\right]$．

解析    根据题意，不妨设 $\boldsymbol a=\left(\dfrac 12,\dfrac{\sqrt 3}2\right)$，$\boldsymbol b=(2,0)$，$\boldsymbol c=(\cos x,\sin x)$，则

$$\begin{split} \left|\boldsymbol a+2\boldsymbol c\right|+\left|\boldsymbol b -\boldsymbol c\right|&=\sqrt{\left(\dfrac 12+2\cos x\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt 3}2+2\sin x\right)^2}+\sqrt{\left(2-\cos x\right)^2+(-\sin x)^2}\\ &=\sqrt{5+2\cos x+2\sqrt 3\sin x}+\sqrt{5-4\cos x}\\ &=\sqrt{5+4\cos\left(x+\dfrac{\pi}3\right)}+\sqrt{5+4\cos \left(x+\pi\right)},\end{split}$$ 设 $z_1=\left(x+\dfrac{\pi}3:1\right)$，$z_2=\left(x+\pi:1\right)$，则 $$\left|\boldsymbol a+2\boldsymbol c\right|+\left|\boldsymbol b -\boldsymbol c\right|=|2+z_1|+|2+z_2|,$$ 问题转化为 $|OA|=|OB|=1$ 且 $\angle AOB=\dfrac{2\pi}3$，$|OP|=2$，求 $|PA|+|PB|$ 的取值范围．猜想 $P$ 在 $\angle AOB$ 的平分线上时取得最值，有 $|PA|+|PB|$ 的取值范围是 $\left[2\sqrt 3,2\sqrt 7\right]$．证明可以利用椭圆与圆的位置关系进行，设 $A\left(\dfrac {\sqrt 3}2,0\right)$，$B\left(-\dfrac{\sqrt 3}2,0\right)$，则 $C$ 在圆 $M:x^2+\left(y-\dfrac 12\right)^2=4$ 上，考虑长轴长分别为 $2\sqrt 3$ 和 $2\sqrt 7$ 的椭圆 $$\begin{split} E_1:&\dfrac{x^2}3+\dfrac{4y^2}9=1,\\ E_2:&\dfrac{x^2}{7}+\dfrac{4y^2}{25}=1,\end{split}$$ 只需要证明椭圆 $E_1$ 在圆 $P$ 内部（包含边界）以及椭圆 $E_2$ 在圆 $P$ 外部（包含边界）即可．通过联立容易证明，因此所求取值范围是 $\left[2\sqrt 3,2\sqrt 7\right]$．