每日一题[2446]分段讨论

已知函数 $f(x)=\dfrac{x+\dfrac 1x}{[x]+\left[\dfrac 1x\right]+2}$（$[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数），则 $f(x)$ 的函数值可能为（       ）

A．$\dfrac 13$

B．$\dfrac 23$

C．$\dfrac 43$

D．$\dfrac 83$

答案    C．

解析    注意到 $f\left(\dfrac 1x\right)=f(x)$，因此只需要研究 $|x|\geqslant 1$ 的情形．

情形一    $x< -1$．设 $x=-k+m$，其中 $k\in\mathbb N^{\ast}$，$m\in[0,1)$，$k\geqslant 2$，则 $$f(x)=\dfrac{x+\dfrac 1x}{-k+1},$$ 其值域为 $$\bigcup_{k=2}^{+\infty}\left(\dfrac{k-1+\dfrac1{k-1}}{k-1},\dfrac{k+\dfrac 1k}{k-1}\right]=\bigcup_{k=2}^{+\infty}\left(1+\dfrac{1}{(k-1)^2},\dfrac{k^2+1}{k^2-k}\right]=\left(1,\dfrac 53\right]\cup\left(2,\dfrac 52\right].$$

情形二     $x=1$，此时 $f(1)=\dfrac 12$．

情形三     $1< x<2$，此时 $$f(x)=\dfrac{x+\dfrac 1x}{3},$$ 其值域为 $\left(\dfrac 23,\dfrac 56\right)$．

情形四    $x\geqslant 2$，设 $x=k+m$，其中 $k\in\mathbb N^{\ast}$，$m\in [0,1)$，$k\geqslant 2$，则 $$f(x)=\dfrac{x+\dfrac 1x}{k+2},$$ 其值域为 $$\bigcup_{k=2}^{+\infty}\left[\dfrac{k+\dfrac 1k}{k+2},\dfrac{k+1+\dfrac{1}{k+1}}{k+2}\right)=\bigcup_{k=2}^{+\infty}\left[\dfrac{k^2+1}{k^2+2k},\dfrac{k^2+2k+2}{k^2+3k+2}\right)=\left[\dfrac 58,1\right).$$

综上所述，函数 $f(x)$ 的值域为 $\left\{\dfrac 12\right\}\cup \left(\dfrac 23,1\right)\cup\left(1,\dfrac 53\right]\cup\left(2,\dfrac 52\right]$．