每日一题[2440]分类计数

已知 $a_{n}$ 是离 $\sqrt{n}$ 最近的整数，则数列 $\{a_n\}$ 的前 $2021$ 项和是（       ）

A．$60544$

B．$60585$

C．$60612$

D．$60625$

答案    B．

解析    显然 $\sqrt n\ne \dfrac 12+k$，其中 $k\in\mathbb N$，因此

$$a_n=k\iff\left(k-\dfrac 12\right)^2<n<\left(k+\dfrac 12\right)^2\iff k^2-k+1\leqslant n\leqslant k^2+k,$$ 因此取值为 $k$ 的项有 $2k$ 个，考虑到 $44^2+44=1980<2021<45^2+45$，于是数列数列 $\{a_n\}$ 的前 $2021$ 项和 $$\sum_{n=1}^{2021}a_n=\sum_{k=1}^{44}\left(k\cdot 2k\right)+45\cdot (2021-1980)=60585.$$