每日一题[2428]分而治之

若实数 $a, b, c, d$ 满足 $a b+b c+c d+d a=1$，则 $a^{2}+2 b^{2}+3 c^{2}+4 d^{2}$ 的最小值为（       ）

A．$1$

B．$2$

C．$3$

D．以上答案都不对

答案   B．

解析    根据题意，有

$$ab+bc+cd+da=1\iff (a+c)(b+d)=1,$$ 记题中代数式为 $m$，于是 $$\begin{split} m&=\left(a^2+3c^2\right)+\left(2b^2+4d^2\right)\\ &\geqslant \dfrac{(a+c)^2}{1+\dfrac 13}+\dfrac{(b+d)^2}{\dfrac 12+\dfrac 14}\\ &=\dfrac 34(a+c)^2+\dfrac 43(b+d)^2\\ &\geqslant 2(a+c)(b+d)\\ &=2,\end{split}$$ 等号当 $$\begin{cases} \dfrac ac=3,\\ \dfrac bd=2,\\ \dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac 43,\end{cases}\iff a:b:c:d=3:2:1:1$$ 时取得，因此所求代数式的最小值为 $2$．