抛物线 y=x2 上有 A,B 两点,|AB|=2,则 AB 中点的轨迹方程为_______.
答案 y=x2+11+4x2.
解析 设 A(a,a2),B(b,b2),AB 的中点为 x,y,则|AB|=2⟺(a−b)2+(a2−b2)2=4⟺(a−b)2(1+(a+b)2)=4,而{x=a+b2,y=a2+b22,⟺{a+b=2x,(a−b)2=4(y−x2),因此 AB 中点的轨迹方程为4(y−x2)(1+4x2)=4⟺y=x2+11+4x2.
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