每日一题[2424]定长线段中点

抛物线 $y=x^2$ 上有 $A,B$ 两点，$|AB|=2$，则 $AB$ 中点的轨迹方程为_______．

答案    $y=x^2+\dfrac{1}{1+4x^2}$．

解析    设 $A(a,a^2)$，$B(b,b^2)$，$AB$ 的中点为 $x,y$，则

$$|AB|=2\iff (a-b)^2+(a^2-b^2)^2=4\iff (a-b)^2(1+(a+b)^2)=4,$$ 而 $$\begin{cases} x=\dfrac{a+b}2,\\ y=\dfrac{a^2+b^2}2,\end{cases}\iff \begin{cases} a+b=2x,\\ (a-b)^2=4(y-x^2),\end{cases}$$ 因此 $AB$ 中点的轨迹方程为 $$4(y-x^2)(1+4x^2)=4\iff y=x^2+\dfrac{1}{1+4x^2}.$$