每日一题[2420]拾级而上

求和 $\left[\sqrt[3]1\right]+\left[\sqrt[3]2\right]+\cdots+\left[\sqrt[3]{2021}\right]=$ _______．

答案    $18180$．

解析    设题中代数式为 $M$，注意到当 $n^3\leqslant k<(n+1)^3$ 时，有 $\left[\sqrt[3]k\right]=n$，又

$$12^3=1728<2021<2197=13^3,$$ 所以 $$M=\sum_{k=1}^{11}\left(k\left((k+1)^3-k^3\right)\right)+12\cdot(2021-12^3+1)=18180.$$