设 f(x) 是 n（n⩾1）次多项式，g(x)=f(x)−f′(x)，证明：若 f(x) 的 n 个根都是实数，则 g(x) 的 n 个根也都是实数．
解析 考虑到(e−xf(x))′=e−x(f′(x)−f(x)),因此 f(x),g(x) 的 n 个根都是实数，分别等价于 F(x),G(x) 的 n 个根都是实数，其中F(x)=e−xf(x),G(x)=e−xg(x),G(x)=F′(x).设 F(x) 的 n 个实根分别为 xi（i=1,2,⋯,n），且 x1⩽x2⩽⋯⩽xn．现证明 [[sol]]引理一[[/sol]] 对多项式函数 h(x)，若 h(a)=h(b)=0（a<b），则存在 c∈[a,b]，使得 h′(c)=0． [[sol]]引理二[[/sol]] 对多项式函数 h(x)，若 h(x) 有 k（k⩾2，k∈N∗）重根 x=a，则 x=a 是 h′(x) 的 k−1 重根． [[sol]]引理一的证明[[/sol]] 当 a<b 时，若不存在 c∈[a,b] 使得 h′(c)=0，注意到 h(x) 连续可导，那么 h′(x) 在区间 (a,b) 上正负恒定，因此 h(x) 是 (a,b) 上的单调函数，与 h(a)=h(b)=0 矛盾． [[sol]]引理二的证明[[/sol]] 若 x=a 是 h(x) 的 k 重根，有h(x)=(x−a)k⋅p(x),其导函数h′(x)=(x−a)k−1⋅q(x),q(x)=k⋅p(x)+(x−a)p′(x),其中 q(a)=k⋅p(a)≠0，因此 x=a 是 h′(x) 的 k−1 重根． 对函数 F(x) 和 x1,x2,⋯,xn 应用引理一和引理二，可得函数 G(x) 至少有 n−1 个实根，进而函数 g(x) 至少有 n−1 个实根，而多项式函数的虚根成对构成共轭复数，因此函数 g(x) 有 n 个实根，命题得证．