每日一题[2419]继承零点

设 $f(x)$ 是 $n$（$n\geqslant 1$）次多项式，$g(x)=f(x)-f'(x)$，证明：若 $f(x)$ 的 $n$ 个根都是实数，则 $g(x)$ 的 $n$ 个根也都是实数．

解析    考虑到 $$\left({\rm e}^{-x}f(x)\right)'={\rm e}^{-x}\left(f'(x)-f(x)\right),$$ 因此 $f(x),g(x)$ 的 $n$ 个根都是实数，分别等价于 $F(x),G(x)$ 的 $n$ 个根都是实数，其中 $$F(x)={\rm e}^{-x}f(x),\quad G(x)={\rm e}^{-x}g(x),\quad G(x)=F'(x).$$ 设 $F(x)$ 的 $n$ 个实根分别为 $x_i$（$i=1,2,\cdots,n$），且 $x_1\leqslant x_2\leqslant \cdots \leqslant x_n$．现证明 [[sol]]引理一[[/sol]] 对多项式函数 $h(x)$，若 $h(a)=h(b)=0$（$a<b$），则存在 $c\in [a,b]$，使得 $h'(c)=0$． [[sol]]引理二[[/sol]] 对多项式函数 $h(x)$，若 $h(x)$ 有 $k$（$k\geqslant 2$，$k\in\mathbb N^{\ast}$）重根 $x=a$，则 $x=a$ 是 $h'(x)$ 的 $k-1$ 重根． [[sol]]引理一的证明[[/sol]] 当 $a<b$ 时，若不存在 $c\in [a,b]$ 使得 $h'(c)=0$，注意到 $h(x)$ 连续可导，那么 $h'(x)$ 在区间 $(a,b)$ 上正负恒定，因此 $h(x)$ 是 $(a,b)$ 上的单调函数，与 $h(a)=h(b)=0$ 矛盾． [[sol]]引理二的证明[[/sol]] 若 $x=a$ 是 $h(x)$ 的 $k$ 重根，有 $$h(x)=(x-a)^k\cdot p(x),$$ 其导函数 $$h'(x)=(x-a)^{k-1}\cdot q(x),\quad q(x)=k\cdot p(x)+(x-a)p'(x),$$ 其中 $q(a)=k\cdot p(a)\ne 0$，因此 $x=a$ 是 $h'(x)$ 的 $k-1$ 重根． 对函数 $F(x)$ 和 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 应用引理一和引理二，可得函数 $G(x)$ 至少有 $n-1$ 个实根，进而函数 $g(x)$ 至少有 $n-1$ 个实根，而多项式函数的虚根成对构成共轭复数，因此函数 $g(x)$ 有 $n$ 个实根，命题得证．