每日一题[2418]超强条件

设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=3$，并且对任意正整数 $m,n$ 均有

$$a_{2m+n}=2a_m+a_n+2m^2+4mn,$$ 求 $\{a_n\}$ 的通项公式．

答案    $a_n=n^2+2n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．

解析    根据题意，有

$$a_{n+2}=a_n+4n+8,$$ 从而 $$a_{2n+1}=a_1+\sum_{k=1}^{n}(8k+4)=a_1+4n^2+8n,$$ 而令 $m\to n$，$n\to 1$，可得 $$a_{2n+1}=2a_n+a_1+2n^2+4n,$$ 因此 $$a_n=n^2+2n.$$