每日一题[2416]传球与环染色

设 $k$（$k\geqslant 3$）个人进行相互传球的游戏，每个拿球的人等可能的把球传给其他人中的任何一位，若初始时球在甲手中，则第 $n$ 次传球后，球又回到甲手中的概率为_______．

答案    $\dfrac{(k-1)^{n-1}+(-1)^n}{k(k-1)^{n-1}}$．

解析    根据环染色问题的相关结论，第 $n$ 次传球后，球又回到甲手中的概率为 $$\dfrac{a_n}{k(k-1)^{n}}=\dfrac{(k-1)^n+(k-1)\cdot (-1)^n}{k(k-1)^{n}}=\dfrac{(k-1)^{n-1}+(-1)^n}{k(k-1)^{n-1}}.$$