每日一题[2414]函数方程

已知 $f(x)$ 满足对任意 $x,y\in\mathbb R$，均有 $f(x-f(y))=f(f(y))+2xf(y)+f(x)-1$，写出这样的一个函数 $f(x)=$ _______．

答案    $-x^2+1$．

解析    设 $f(x)$ 的值域为 $A$，则对 $x\in \mathbb R$，$y\in A$，有

$$f(x-y)=f(x)+2xy+f(y)-1,$$ 也即 $$1-f(x-y)=\big(1-f(x)\big)-2xy+\big(1-f(y)\big),$$ 联想完全平方差公式，有 $$1-f(x)=x^2$$ 满足要求，此时 $f(x)=-x^2+1$．