每日一题[2410]几何意义

已知曲线 C:x2+y2=2x4y,若点 P(x1,y1)Q(x2,y2)R(x3,y3) 在曲线 C 上,则 x1y2x2y1+x2y3x3y2 的最小值为_______.

答案    20

解析    根据题意,有C:(x+1)2+(y2)2=5,于是 C 是过原点且半径为 5 的圆.联想三角形的面积坐标公式,有x1y2x2y1+x2y3x3y2=2SOPQ+2SOQR2([OPQ]+[OQR]),等号当 P,Q,R 在圆 C 上按顺时针排列时取得.此时[OPQ]+[OQR]=[OPQR]122525=10,等号当 OPQR 为圆 C 的内接正方形,即 P(3,1)Q(2,4)R(1,3) 时取得,因此题中代数式的最小值为 20

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