每日一题[2410]几何意义

已知曲线 $C:x^2+y^2=2x-4y$，若点 $P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$，$R(x_3,y_3)$ 在曲线 $C$ 上，则 $x_1y_2-x_2y_1+x_2y_3-x_3y_2$ 的最小值为_______．

答案    $-20$．

解析    根据题意，有

$$C:(x+1)^2+(y-2)^2=5,$$ 于是 $C$ 是过原点且半径为 $\sqrt 5$ 的圆．联想三角形的面积坐标公式，有 $$x_1y_2-x_2y_1+x_2y_3-x_3y_2=2\overrightarrow S_{\triangle OPQ}+2\overrightarrow S_{\triangle OQR}\geqslant -2\left([\triangle OPQ]+[\triangle OQR]\right),$$ 等号当 $P,Q,R$ 在圆 $C$ 上按顺时针排列时取得．此时 $$[\triangle OPQ]+[\triangle OQR]=[OPQR]\leqslant \dfrac 12\cdot 2\sqrt 5\cdot 2\sqrt 5=10,$$ 等号当 $OPQR$ 为圆 $C$ 的内接正方形，即 $P(3,-1)$，$Q(2,-4)$，$R(-1,-3)$ 时取得，因此题中代数式的最小值为 $-20$．