已知曲线 C:x2+y2=2x−4y,若点 P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x3,y3) 在曲线 C 上,则 x1y2−x2y1+x2y3−x3y2 的最小值为_______.
答案 −20.
解析 根据题意,有C:(x+1)2+(y−2)2=5,于是 C 是过原点且半径为 √5 的圆.联想三角形的面积坐标公式,有x1y2−x2y1+x2y3−x3y2=2→S△OPQ+2→S△OQR⩾−2([△OPQ]+[△OQR]),等号当 P,Q,R 在圆 C 上按顺时针排列时取得.此时[△OPQ]+[△OQR]=[OPQR]⩽12⋅2√5⋅2√5=10,等号当 OPQR 为圆 C 的内接正方形,即 P(3,−1),Q(2,−4),R(−1,−3) 时取得,因此题中代数式的最小值为 −20.