每日一题[2402]单位根

已知 $\omega =\cos\dfrac{\pi}5+{\rm i}\sin\dfrac{\pi}5$，则 $(x-\omega )(x-\omega ^3)(x-\omega ^7)(x-\omega ^9)=$ （       ）

A．$x^4+x^3+x^2+x+1$

B．$x^4-x^3+x^2-x+1$

C．$x^4-x^3-x^2+x+1$

D．$x^4+x^2+x^2-x-1$

答案    B．

解析    根据题意，$\omega ,\omega ^3,\omega ^5,\omega ^7,\omega ^9$ 是方程

$$x^5=-1$$ 的五个复根．因此 $$x^5+1=(x-\omega )(x-\omega ^3)(x+1)(x-\omega ^7)(x-\omega ^9),$$ 从而 $$(x-\omega )(x-\omega ^3)(x-\omega ^7)(x-\omega ^9)=\dfrac{x^5+1}{x+1}=x^4-x^3+x^2-x+1.$$