每日一题[2399]解四边形

已知四边形 $AEBC$ 内接于圆 $O$，$BC$ 为圆 $O$ 的直径，$ED\parallel BC$ 且与 $AC$ 交于点 $D$，$BE=12$，$DE=DC=14$，则（       ）

答案    AD．

解析    连接 $CE,AB$，则 $\angle BEC=\angle BAC=90^\circ$，如图．

设 $\angle ECB=\angle DEC=\angle DCE=\theta$，则

$$\tan\theta=\dfrac{BE}{EC}\iff \tan\theta=\dfrac{12}{2\cdot 14\cos\theta}\iff \sin\theta=\dfrac 37,$$ 因此 $BC=28$，$AE=BE=12$，且 $$\cos\angle DCB=\cos2\theta=1-2\sin^2\theta=\dfrac{31}{49},$$ 于是根据余弦定理，有 $$BD=\sqrt{BC^2+DC^2-2\cdot BC\cdot DC\cdot \cos\angle DCB}=22.$$