每日一题[2390]模周期性

已知 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则方程 $\left[\dfrac x2\right]+\left[\dfrac x3\right]+\left[\dfrac x5\right]=x$ 的解的个数为（       ）

A．$15$

B．$30$

C．$60$

D．无穷多个

答案    B．

解析    显然 $x\in\mathbb Z$，考虑到 $[2,3,5]=30$，因此设 $x=30k+m$，其中 $k\in\mathbb Z$，$m\in \{0,1,2,\cdots,29\}$，则题中方程即

$$\left[\dfrac{30k+m}2\right]+\left[\dfrac{30k+m}3\right]+\left[\dfrac{30k+m}5\right]=30k+m,$$ 即 $$15k+\left[\dfrac m2\right]+10k+\left[\dfrac m3\right]+6k+\left[\dfrac m5\right]=30k+m,$$ 也即 $$k=m-\left(\left[\dfrac m2\right]+\left[\dfrac m3\right]+\left[\dfrac m5\right]\right),$$ 当 $m$ 分别取 $0,1,2,\cdots,29$ 时，我们就得到了原方程的 $30$ 个不同的解．

备注    事实上，这 $30$ 个解分别为 $k=0$ 对应的

$$0,6,10,12,15,16,18,20,21,22,24,25,26,27,28,$$ 以及 $k=1$ 对应的 $$31,32,33,34,35,37,38,39,41,43,44,47,49,53,59.$$