每日一题[2387]严格不易

已知 $\omega\in\mathbb R$，函数 $f(x)=(x-6)^2\cdot \sin(\omega x)$，存在常数 $a\in\mathbb R$，使得 $f(x+a)$ 为偶函数，则 $\omega$ 的可能值为（       ）

A．$\dfrac{\pi}2$

B．$\dfrac{\pi}3$

C．$\dfrac{\pi}4$

D．$\dfrac{\pi}5$

答案    C．

解析    考虑 $f(x)\geqslant 0$ 的解集，为 $\left[\dfrac{2k\pi}{\omega},\dfrac{(2k+1)\pi}{\omega}\right]$，$k\in\mathbb Z$．因此若 $f(x)$ 有对称轴 $x=a$，那么该解集必然关于 $x=a$ 对称，因此

$$a=\dfrac{k\pi+\dfrac {\pi}2}{\omega},k\in\mathbb Z,$$ 这就意味着 $x=a$ 是函数 $y=\sin(\omega x)$ 的对称轴，进而 $x=a$ 必然是 $f(x)=(x-6)^2$ 的对称轴，从而 $a=6$，有 $$\dfrac{k\pi+\dfrac {\pi}2}{\omega}=6\implies \omega=\dfrac{2k+1}{12}\pi,$$ 在 $\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 上的所有可能取值为 $\dfrac{\pi}{12},\dfrac{\pi}4,\dfrac{5\pi}{12}$．