如图，在棱长为 $2$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$E,F$ 分别为棱 $BC,CD$ 的中点．
1、求证：$D_1F\parallel A_1EC_1$．
2、求直线 $AC_1$ 与平面 $A_1EC_1$ 所成角的正弦值．
3、求二面角 $A-A_1C_1-E$ 的正弦值．
解析
1、设 $AB$ 的中点为 $M$，连接 $ME,MF$，如图．
由于 $ME$ 与 $A_1C_1$ 平行，于是 $A_1,M,E,C_1$ 共面，而 $MF$ 与 $A_1D_1$ 平行且相等，因此 $D_1F\parallel A_1M$，从而 $D_1F\parallel A_1EC_1$．
2、根据题意，所求正弦值为\[\dfrac{d(A,A_1ME)}{C_1A}=\dfrac{\dfrac{[\triangle AME]}{[\triangle A_1ME]}\cdot d(A_1,AME)}{C_1A},\]易得 $[\triangle AME]=\dfrac 12$，$C_1A=2\sqrt 3$，$d(A_1,AME)=2$．而在 $\triangle A_1ME$ 中，$A_1M=\sqrt 5$，$ME=\sqrt 2$，$A_1E=3$，从而\[[\triangle A_1ME]=\dfrac 32,\]因此所求正弦值为\[\dfrac{d(A,A_1ME)}{C_1A}=\dfrac{\sqrt 3}9.\]
3、在 $\triangle A_1EC_1$ 中，$A_1E=3$，$A_1C_1=2\sqrt 2$，$C_1E=\sqrt 5$，因此在三面角 $A_1-AC_1E$ 中，有\[\cos\angle AA_1E=\dfrac 23,\quad \angle AA_1C_1=\dfrac{\pi}2,\quad \cos\angle EA_1C_1=\dfrac{\sqrt 2}2, \]设二面角 $A-A_1C_1-E$ 的大小为 $\varphi$，则根据三射线定理，有\[\cos\angle AA_1E=\cos\angle AA_1C_1\cos\angle EA_1C_1+\sin\angle AA_1C_1\sin\angle EA_1C_1\cos\varphi,\]即\[\dfrac 23=\dfrac{\sqrt 2}2\cos\varphi\iff \cos\varphi=\dfrac{2\sqrt 2}3\iff \sin\varphi=\dfrac 13,\]因此所求二面角 $A-A_1C_1-E$ 的正弦值为 $\dfrac 13$．