每日一题[2382]分而治之

设 $a, b$ 为实数，且 $a>1$，函数 $f(x)=a^{x}-b x+\mathrm{e}^{2}(x \in \mathbb{R})$．

1、求函数 $f(x)$ 的单调区间．

2、若对任意 $b>2 \mathrm{e}^{2}$，函数 $f(x)$ 有两个不同的零点，求 $a$ 的取值范围．

3、当 $a=\mathrm{e}$ 时，证明：对任意 $b>\mathrm{e}^{4}$，函数 $f(x)$ 有两个不同的零点 $x_{1}, x_{2}$（$x_1<x_2$），满足 $$x_{2}>\frac{b \ln b}{2 \mathrm{e}^{2}} x_{1}+\frac{\mathrm{e}^{2}}{b}.$$ 注：$\mathrm{e}=2.71828 \ldots$ 是自然对数的底数．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=a^x\ln a-b,$$ 若 $b\leqslant 0$，则 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\mathbb R$，没有单调递减区间；若 $b>0$，则 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\left({\log_a}\dfrac b{\ln a},+\infty\right)$，单调递减区间是 $\left(-\infty,{\log_a}\dfrac {b}{\ln a}\right)$．

2、注意到 $$\lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty,$$ 当 $b>2{\rm e}^2$ 时，函数 $f(x)$ 的最小值 $$f\left({\log_a}\dfrac b{\ln a}\right)=\dfrac b{\ln a}-\dfrac b{\ln a}\ln\dfrac b{\ln a}+{\rm e}^2,$$ 记 $t=\dfrac b{\ln a}$，根据题意，有 $$f\left({\log_a}\dfrac b{\ln a}\right)<0\iff t-t\ln t+{\rm e}^2<0\iff 1-\ln t+\dfrac{{\rm e}^2}{t}<0,$$ 左侧为关于 $t$ 的单调递减函数，且当 $t={\rm e}^2$ 时函数值为 $0$，因此该关于 $t$ 的不等式的解为 $$t>{\rm e}^2\implies \dfrac b{\ln a}>{\rm e}^2,$$ 该不等式对任意 $b>2{\rm e}^2$ 均成立，因此 $a$ 的取值范围是 $\left(1,{\rm e}^2\right]$．

3、当 $a={\rm e}$ 时，方程 $$f(x)=0\iff \dfrac{{\rm e}^x+{\rm e}^2}{x}=b,$$ 从而 $x_1,x_2>0$，设左侧函数为 $g(x)$，则 $g(x)$ 的导函数 $$g'(x)=\dfrac{{\rm e}^x(x-1)-{\rm e}^2}{x^2},$$ 因此 $g(x)$ 在 $(0,2)$ 上单调递减，在 $(2,+\infty)$ 上单调递增，因此 $$0<x_1<2<x_2.$$ 由于 $$b=\dfrac{{\rm e}^{x_1}+{\rm e}^2}{x_1}<\dfrac{2{\rm e}^2}{x_1}\implies x_1<\dfrac{2{\rm e}^2}{b},$$ 因此只需要证明 $$x_2>\ln b+\dfrac{{\rm e}^2}{b},$$ 考虑到 $$b=\dfrac{{\rm e}^{x_2}+{\rm e}^2}{x_2}<\dfrac{2{\rm e}^{x_2}}{x_2},$$ 且 $\ln b+\dfrac{{\rm e}^2}b$ 在 $b\in\left({\rm e}^4,+\infty\right)$ 上单调递增，因此只需要证明 $$x_2>\ln\dfrac{2{\rm e}^{x_2}}{x_2}+\dfrac{{\rm e}^2}{\dfrac{2{\rm e}^{x_2}}{x_2}}\iff \ln x_2-\dfrac{{\rm e}^2x_2}{2{\rm e}^{x_2}}-\ln 2>0,$$ 设 $h(x)=\ln x-\dfrac{{\rm e}^2x}{2{\rm e}^x}-\ln 2$，则其导函数 $$h'(x)=\dfrac 1x+\dfrac{x-1}{2{\rm e}^{x-2}},$$ 因此 $h(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增．当 $b>{\rm e}^4$ 时，由于 $g(4)=\dfrac{{\rm e}^4+{\rm e}^2}4<b$，于是 $x_2>4$，进而 $$\ln x_2-\dfrac{{\rm e}^2x_2}{2{\rm e}^{x_2}}-\ln 2>h(4)=\ln 2-\dfrac{2}{{\rm e}^2}>\dfrac 23-\dfrac 27>0,$$ 其中用到了 $\ln x>\dfrac{2(x-1)}{x+1}$（$x>1$），令 $x=2$，可得 $\ln 2>\dfrac 23$；以及 ${\rm e}^2>7$．

备注    事实上，有$x_2>5$，所以题中的不等式还是比较宽松的．