每日一题[2381]抛物线灭门人

如图，已知 $F$ 是抛物线 $y^{2}=2 p x$（$p>0$）的焦点，$M$ 是抛物线的准线与 $x$ 轴的交点，且 $|M F|=2$．

1、求抛物线的方程．

2、设过点 $F$ 的直线交抛物线于 $A, B$ 两点，若斜率为 $2$ 的直线 $l$ 与直线 $M A, M B, A B, x$ 轴依次交于点 $P, Q, R, N$，且满足 $|R N|^{2}=|P N| \cdot|Q N|$，求直线 $l$ 在 $x$ 轴上截距的取值范围．

解析

1、根据题意，有 $M\left(-\dfrac p2,0\right)$，$F\left(\dfrac p2,0\right)$，于是

$$|MF|=2\iff p=2,$$ 从而抛物线的方程为 $y^2=4x$．

2、设 $A(4a^2,4a)$，$B(4b^2,4b)$，则根据抛物线的平均性质，有 $4ab=-1$，此时

$$MA:x=\dfrac{4a^2-(-1)}{4a-0}y-1,$$ 即 $$MA:x=(a-b)y-1,$$ 类似的，有 $$MB:x=-(a-b)y-1,$$ 而 $AB:x=(a+b)y+1$，记 $a+b=m$，$a-b=n$，则 $m^2-n^2=-1$，设 $PQ:x=\dfrac 12y+t$，$P,Q,R$ 的纵坐标分别为 $y_1,y_2,y_0$，则联立 $MA,MB,AB$ 与 $PQ$ 的方程，有 $$y_1=\dfrac{2(t+1)}{2n-1},\quad y_2=\dfrac{2(t+1)}{-2n-1},\quad y_0=\dfrac{2(t-1)}{2m-1},$$ 根据 $|RN|^2=|PN|\cdot |QN|$，可得 $$y_0^2=-y_1y_2\iff \dfrac{(t-1)^2}{(2m-1)^2}=\dfrac{(t+1)^2}{4n^2-1},$$ 从而 $$\left(\dfrac{t+1}{t-1}\right)^2=\dfrac{4n^2-1}{(2m-1)^2}=\dfrac{4m^2+3}{(2m-1)^2},$$ 令 $2m-1=u$，则 $$\left(\dfrac{t+1}{t-1}\right)^2=\left(\dfrac 2u+\dfrac 12\right)^2+\dfrac 34\geqslant \dfrac 34,$$ 解得直线 $l$ 在 $x$ 轴上截距 $t$ 的取值范围为 $\left(-\infty,-7-4\sqrt 3\right]\cup\left[-7+4\sqrt 3,1\right)\cup(1,+\infty)$．