每日一题[2380]不战而屈人之兵

如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形，$\angle A B C=120^{\circ}$，$A B=1$，$B C=4$，$P A=\sqrt{15}$，$M, N$ 分别为 $B C, P C$ 的中点，$P D \perp D C$，$P M \perp M D$．

1、证明：$A B \perp P M$．

2、求直线 $A N$ 与平面 $P D M$ 所成角的正弦值．

解析

1、分析底面 $ABCD$，可得 $DM\perp CD$，如图．

结合 $PD\perp DC$，可得 $CD\perp PDM$，从而 $CD\perp PM$，而 $PM\perp MD$，从而 $PM\perp CDM$，进而 $PM\perp AB$，命题得证．

2、分析底面，连接 $AM,AC$，设 $C,M$ 在直线 $AB$ 上的投影分别为 $E,N$，如图．

根据题意，有 $AB=BN=NE=1$，$DM=MN=\dfrac 12CE=2\sqrt 3$，从而 $AM=\sqrt 7$，$AC=\sqrt{21}$，进而可得 $PM=2\sqrt 2$，从而

$$d(A,PDM)=\dfrac{[\triangle ADM]}{[\triangle PDM]}\cdot d(P,ADM)=\dfrac{\sqrt 3}{\sqrt 6}\cdot 2\sqrt 2=2,$$ 而 $$d(N,PDM)=\dfrac 12d(N,PDM)=\dfrac 12\cdot \dfrac{EN}{AN}\cdot d(A,PDM)=\dfrac 12.$$ 在 $\triangle PAC$ 中，有 $PA=\sqrt{15}$，$AC=\sqrt{21}$，$PC=2\sqrt 3$，因此 $$(2AN)^2+PC^2=2(PA^2+AC^2),$$ 解得 $AN=\sqrt{15}$，从而直线 $A N$ 与平面 $P D M$ 所成角的正弦值为 $$\dfrac{d(A,PDM)+d(N,PDM)}{AN}=\dfrac{2+\dfrac 12}{\sqrt{15}}=\dfrac{\sqrt{15}}6.$$