已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点 A(0,−2),以四个顶点围成的四边形面积为 4√5.
1、求椭圆 E 的标准方程.
2、过点 P(0,−3) 的直线 l 的斜率为 k,交椭圆 E 于不同的两点 B,C,直线 AB,AC 交 y=−3 于点 M,N,若 |PM|+|PN|⩽15,求 k 的取值范围.
解析
1、根据题意,有 b=2,以四个顶点围成的四边形面积为12⋅2a⋅2b=2ab=4√5⟹a=√5,因此椭圆 E 的标准方程为 x25+y24=1.
2、直线 l:y=kx−3,设 B(x1,kx1−3),C(x2,kx2−3),M(x3,−3),N(x4,−3),则根据 AM 与 AB 斜率相等,有(kx1−3)+2x1=−3+2x3⟺1x1=k+1x3,类似的,有1x2=k+1x4,联立直线 l 的方程与椭圆方程,可得(14k2+15)x2−32kx+54=0,因此 x3,x4 是关于 x 的方程54(k+1x)2−32k(k+1x)+14k2+15=0即15x2+kx+54=0的两个实根.判别式Δ=k2−1>0⟺|k|>1.注意到 x3⋅x4=254,于是 x3,x4 同号,进而有|PM|+|PN|=|x3|+|x4|=|x3+x4|=|5k|⩽15⟺|k|⩽3,因此实数 k 的取值范围是 [−3,−1)∪(1,3].