每日一题[2372]相关曲线

已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1a>b>0)过点 A(0,2),以四个顶点围成的四边形面积为 45

1、求椭圆 E 的标准方程.

2、过点 P(0,3) 的直线 l 的斜率为 k,交椭圆 E 于不同的两点 B,C,直线 AB,ACy=3 于点 M,N,若 |PM|+|PN|15,求 k 的取值范围.

解析

1、根据题意,有 b=2,以四个顶点围成的四边形面积为122a2b=2ab=45a=5,因此椭圆 E 的标准方程为 x25+y24=1

2、直线 l:y=kx3,设 B(x1,kx13)C(x2,kx23)M(x3,3)N(x4,3),则根据 AMAB 斜率相等,有(kx13)+2x1=3+2x31x1=k+1x3,类似的,有1x2=k+1x4,联立直线 l 的方程与椭圆方程,可得(14k2+15)x232kx+54=0,因此 x3,x4 是关于 x 的方程54(k+1x)232k(k+1x)+14k2+15=015x2+kx+54=0的两个实根.判别式Δ=k21>0|k|>1.注意到 x3x4=254,于是 x3,x4 同号,进而有|PM|+|PN|=|x3|+|x4|=|x3+x4|=|5k|15|k|3,因此实数 k 的取值范围是 [3,1)(1,3]

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