每日一题[2370]规范表达

数列 {an} 是递增的整数数列,且 a1a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n=100,则 n 的最大值为(       )

A.9

B.10

C.11

D.12

答案    C.

解析    根据题意,有a_{k+1}\geqslant a_k+1\implies a_k\geqslant a_1+(k-1)\implies a_k\geqslant k+2,其中 k\in\mathbb N^{\ast}.因此100=a_1+a_2+\cdots+a_n\geqslant \dfrac 12n^2+\dfrac 52n,从而n(n+5)\leqslant 200\implies n\leqslant 12,而当 a_k=k+2k=1,2,\cdots,11)时,等号可以取得,因此 n 的最大值为 11

备注   只有“要想n最大,前面的项应该越小越好”的想法是不够的,需要逻辑严密的进行推导.

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每日一题[2370]规范表达》有一条回应

  1. Avatar photo 殊世惊宇说:

    这题应该是11吧,12项和最小是\frac{3+14}2\cdot12=102已经超了100,出错原因在于上面求和时把首项当成了1,实际最小为3.
    ps:我在QQ那边给你发消息了,你应该没看见.

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