每日一题[2367]差比求和

某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为 $20 {\rm dm}\times 12 {\rm dm}$ 的长方形纸，对折 $1$ 次共可以得到 $10 {\rm dm}\times 12 {\rm dm}$，$20 {\rm dm}\times 6 {\rm dm}$ 两种规格的图形，它们的面积之和 $S_1=240 {\rm dm}^2$，对折 $2$ 次共可以得到 $5 {\rm dm}\times 12 {\rm dm}$，$10 {\rm dm}\times 6 {\rm dm}$，$20 {\rm dm}\times 3 {\rm dm}$ 三种规格的图形，它们的面积之和 $S_2=180 {\rm dm}^2$，以此类推．则对折 $4$ 次共可以得到不同规格图形的种数为_______；如果对折 $n$ 次，那么 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}S_k$ =_______${\rm dm}^2$．

答案    $5$；$240\left(3-\dfrac{n+3}{2^n}\right)$．

解析    由题意可知，对折 $n$ 次可以得到不同规格图形的种数为 $n+1$，分别是

$$\frac{20}{2^i}\times\frac{12}{2^{n-i}},i=0,1,2,\dots,n.$$ 对折 $k$ 次时，有 $$S_k=\sum\limits_{i=0}^{k}\left(\frac{20}{2^i}\cdot\frac{12}{2^{k-i}}\right)=\frac{240(k+1)}{2^k}=(120k+120)\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1},$$ 因此 $$\sum\limits_{k=1}^{n}S_k=(\alpha n+\beta)\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^n-\beta,$$ 其中 $$\begin{split} \alpha&=\frac{120}{\dfrac{1}{2}-1}=-240,\\ \beta&=\frac{120-\alpha}{\dfrac{1}{2}-1}=-720, \end{split}$$ 也即 $$\sum\limits_{k=1}^{n}S_k=(-240n-720)\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^n+720=240\left(3-\frac{n+3}{2^n}\right).$$

备注    你能看出算法，并验证码？