每日一题[2362]闭合定理

抛物线 $C$ 的顶点为坐标原点 $O$，焦点在 $x$ 轴上，直线 $l:x=1$ 交 $C$ 于 $P,Q$ 两点，且 $OP\perp OQ$．已知点 $M(2,0)$，且圆 $M$ 与 $l$ 相切．

1、求抛物线 $C$ 和圆 $M$ 的方程．

2、设 $A_1,A_2,A_3$ 是 $C$ 上的三个点，直线 $A_1A_2,A_1A_3$ 均与圆 $M$ 相切，判断直线 $A_2A_3$ 与圆 $M$ 的位置关系，并说明理由．

解析

1、根据抛物线的对称性，有

$$\angle POx=\angle QOx=45^\circ,$$ 因此点 $P,Q$ 的坐标为 $(1,\pm 1)$，因此抛物线 $C$ 的方程为 $y^2=x$．而圆 $M$ 的半径为 $M$ 到直线 $l$ 的距离，为 $1$，进而其方程为 $$(x-2)^2+y^2=1.$$

2、设点 $A_i\left(y_i^2,y_i\right)$，其中 $i=1,2,3$．由直线的两点式可知，直线 $A_1A_2$ 的方程为

$$\left(y_1^2-y_2^2\right)(y-y_2)=(y_1-y_2)\left(x-y_2^2\right),$$ 化简可得 $$A_1A_2:x-(y_1+y_2)y+y_1y_2=0.$$ 因为直线 $A_1A_2$ 与圆 $M$ 相切，所以 $$\frac{|2+y_1y_2|}{\sqrt{1+(y_1+y_2)^2}}=1\iff (2+y_1y_2)^2=1+(y_1+y_2)^2,$$ 整理得 $$\left(y_1^2-1\right)y_2^2+2y_1y_2+\left(3-y_1^2\right)=0.$$ 同理有 $$\left(y_1^2-1\right)y_3^2+2y_1y_3+\left(3-y_1^2\right)=0.$$ 上述两式说明 $y_2,y_3$ 是关于 $y$ 的二次方程 $$\left(y_1^2-1\right)y^2+2y_1y+\left(3-y_1^2\right)=0$$ 的两个根，因此 $$y_2+y_3=\frac{2y_1}{1-y_1^2}, \quad y_2y_3=\frac{3-y_1^2}{y_1^2-1}.$$ 下面我们来证明直线 $A_2A_3:x-(y_2+y_3)y+y_2y_3=0$ 与圆 $M$ 相切，这等价于证明 $$\frac{|2+y_2y_3|}{\sqrt{1+(y_2+y_3)^2}}=1\iff (2+y_2y_3)^2=1+(y_2+y_3)^2.$$ 事实上， $$\begin{split} 1+(y_2+y_3)^2-(2+y_2y_3)^2 &=1+\frac{4y_1^2}{\left(1-y_1^2\right)^2}-\left(2+\frac{3-y_1^2}{y_1^2-1}\right)^2\\ &=\frac{\left(y_1^2-1\right)^2+4y_1^2-\left(y_1^2+1\right)^2}{\left(y_1^2-1\right)^2}\\ &=0, \end{split}$$ 命题得证，因此直线 $A_2A_3$ 与圆 $M$ 相切．