每日一题[2360]文字语言

已知实数 $x,y,z$ 满足 $xy+yz+zx=1$，且 $$3\left(x+\dfrac 1x\right)=4\left(y+\dfrac 1y\right)=5\left(z+\dfrac 1z\right)=t,$$ 则 $t=$ _______．

答案  $\pm 10$．

解析  根据题意，$x,y,z$ 同号，不失一般性，先考虑 $x,y,z>0$ 的情形．设 $(x,y,z)=\left(\tan\dfrac A2,\tan\dfrac B2,\tan\dfrac C2\right)$，其中 $A+B+C=\pi$，$A,B,C\in (0,\pi)$，则 $$\dfrac{6}{\sin A}=\dfrac{8}{\sin B}=\dfrac{10}{\sin C}=t,$$ 根据正弦定理，$\triangle ABC$ 是以 $C$ 为直角的直角三角形，从而 $$z=\tan \dfrac C2=1,$$ 进而 $t=10$． 再考虑 $x,y,z$ 的符号，可得 $t=\pm 10$．

事实上，$(x,y,z)=\left(\pm\dfrac 13,\pm\dfrac 12,\pm1\right)$．