已知实数 $x,y,z$ 满足 $xy+yz+zx=1$，且\[3\left(x+\dfrac 1x\right)=4\left(y+\dfrac 1y\right)=5\left(z+\dfrac 1z\right)=t,\]则 $t=$ _______．
答案 $\pm 10$．
解析 根据题意，$x,y,z$ 同号，不失一般性，先考虑 $x,y,z>0$ 的情形．设 $(x,y,z)=\left(\tan\dfrac A2,\tan\dfrac B2,\tan\dfrac C2\right)$，其中 $A+B+C=\pi$，$A,B,C\in (0,\pi)$，则\[\dfrac{6}{\sin A}=\dfrac{8}{\sin B}=\dfrac{10}{\sin C}=t,\]根据正弦定理，$\triangle ABC$ 是以 $C$ 为直角的直角三角形，从而\[z=\tan \dfrac C2=1,\]进而 $t=10$． 再考虑 $x,y,z$ 的符号，可得 $t=\pm 10$．
事实上，$(x,y,z)=\left(\pm\dfrac 13,\pm\dfrac 12,\pm1\right)$．