每日一题[2358]从定义出发

设 $a\ne 0$，若 $x=a$ 为函数 $f(x)=a(x-a)^2(x-b)$ 的极大值点，则（       ）

A．$a<b$

B．$a>b$

C．$ab<a^2$

D．$ab>a^2$

答案    D．

解析

法一    考虑到 $f(a)=0$，因此在 $x=a$ 的左右邻域 $f(x)$ 函数值均为负数，从而 $$a(a-b)<0\iff ab>a^2.$$

法二    若 $a=b\ne 0$，则 $$f(x)=a(x-a)^3$$ 是 $\mathbb{R}$ 上的单调函数，与“$x=a$ 为函数 $f(x)$ 的极大值点”矛盾，所以 $a\ne b$． 由题意可知， $$\begin{split} f'(x)&=a\left(2(x-a)(x-b)+(x-a)^2\right)=a(x-a)(3x-a-2b),\\ f''(x)&=a\left((3x-a-2b)+3(x-a)\right)=a(6x-4a-2b), \end{split}$$ 于是 $$f'(a)=0, f''(a)=2a(a-b)\ne 0.$$ 因为 $x=a$ 为函数 $f(x)$ 的极大值点，所以根据极值的第二充分条件可知， $$f''(a)=2a(a-b)<0\iff ab>a^2.$$

备注    极值的第二充分条件：假设存在 $\delta>0$，使得函数 $f(x)$ 在 $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ 内可导，在 $x=x_0$ 处二阶可导，且 $f'(x_0)=0$，$f''(x_0)\ne 0$． 若 $f''(x_0)<0$，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值； 若 $f''(x_0)>0$，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值．