每日一题[2352]定比分点

已知抛物线 $C:y^2=2px$（$p>0$）的焦点 $F$ 到准线的距离为 $2$．

1、求 $C$ 的方程．

2、已知 $O$ 为坐标原点，点 $P$ 在 $C$ 上，点 $Q$ 满足 $\overrightarrow{PQ}=9\overrightarrow{QF}$，求直线 $OQ$ 的斜率的最大值．

解析

1、根据题意，焦点 $F$ 到准线的距离 $p=2$，因此 $C$ 的方程为 $y^2=4x$．

2、根据题意有 $F(1,0)$，设 $P(4m^2,4m)$，则

$$\overrightarrow{PQ}=9\overrightarrow{QF}\iff Q\left(\dfrac{4m^2+9}{1+9},\dfrac{4m}{1+9}\right)\iff Q\left(\dfrac{4m^2+9}{10},\dfrac{2m}5\right),$$ 因此直线 $OQ$ 的斜率 $$k=\dfrac{\frac{2m}5}{\frac{4m^2+9}{10}}=\dfrac{4m}{4m^2+9}=\dfrac{4}{4m+\dfrac 9m}\leqslant \dfrac{4}{12}=\dfrac 13,$$ 等号当 $m=\dfrac 32$ 时取得，因此所求斜率的最大值为 $\dfrac 13$．