每日一题[2351]端点平衡

已知函数 $f(x)=\dfrac{2ax+a^2-1}{x^2+1}$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上既有最大值，又有最小值，则 $a$ 的取值范围是_______．

答案    $(-\infty,-1]\cup (0,1]$．

解析    函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=-\dfrac{2(x+a)(ax-1)}{(x^2+1)^2},$$ 考虑到 $$f(0)=a^2-1,\quad \lim_{x\to +\infty}f(x)=0,$$ 可得讨论分界点为 $a=-1,0,1$．

情形一 当 $a<0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $[0+\infty)$ 先单调递减，再单调递增，极小值点即最小值点为 $x=-a$，此时为保证函数 $f(x)$ 有最大值，需要 $a^2-1\geqslant 0$，即 $a\leqslant -1$．

情形二 ​ 当 $a=0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，没有最大值．

情形三 ​当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $[0+\infty)$ 先单调递增，再单调递减，极大值点即最大值点为 $x=\dfrac 1a$，此时为保证函数 $f(x)$ 有最小值，需要 $a^2-1\leqslant 0$，即 $0<a\leqslant 1$．

综上所述，$a$ 的取值范围是 $(-\infty,-1]\cup (0,1]$．