每日一题[2350]“照亮”范围

在平面直角坐标系 $xOy$ 中的图形 $M$ 和点 $P$，给出如下定义，如果图形 $M$ 上存在点 $Q$，使 $0\leqslant |PQ|\leqslant 1$，那么称点 $P$ 为图形 $M$ 的和谐点．已知 $A(3,3)$，$B(-3,3)$．

1、在点 $P_1(-2,2)$，$P_2(0,3.5)$，$P_3(4,0)$ 中，线段 $AB$ 的和谐点有_______．

2、点 $P$ 在直线 $y=x-1$ 上，如果点 $P$ 是直线 $AB$ 的和谐点，求点 $P$ 的横坐标 $x$ 的取值范围．

3、已知点 $C(-3,-3)$，$D(3,-3)$，如果直线 $y=x+b$ 上存在正方形 $ABCD$ 的和谐点 $E,F$，使得线段 $E,F$，使得线段 $EF$ 上的所有点（含端点）都是正方形 $ABCD$ 的和谐点，且 $EF> \sqrt 2$，求 $b$ 的取值范围．

解析

1、线段 $AB$ 的和谐点组成的集合如图，点 $P_1,P_2$ 为其和谐点．

2、如图，直线 $AB$ 的和谐点构成的集合为平行带状区域，点 $P$ 的横坐标 $x$ 的取值范围是 $[3,5]$．

3、正方形 $ABCD$ 的和谐点组成的集合如图，四个圆角的半径均为 $1$，考虑临界情形，可得 $b$ 的取值范围是 $(-7,7)$．