每日一题[2348]犬牙交错

如图，已知多面体 $ABCDEGPH$，$AE,BG,CP,DH$ 均垂直于平面 $ABCD$，四边形 $ABCD$ 为正方形，$CP=CB=2AE=2CF=2$．若 $BG=x$（$x\in [0,2]$），且 $E,G,F,H$ 四点共面．

1、求四棱锥 $P-EGFH$ 的体积 $f(x)$．

2、若点 $Q$ 为多面体 $ABCDEGPH$ 棱上一点，求满足 $QA+QP=4$ 的点 $Q$ 的个数．

解析

1、根据题意，有

$$f(x)=[P-EGFH]=2[P-FHG]=2[H-PFG]=2\cdot \left(\dfrac 13\cdot 2\cdot 1\right)=\dfrac 43.$$

2、不妨设 $x\in [0,1]$，分类讨论如下：

$$\begin{array} {cc|c|cc|c}\hline \text{起点}&\text{距离和}&\text{单调性}&\text{终点}&\text{距离和}&\text{线段内部个数}\\ \hline A&2\sqrt 3&\nearrow&B&2+2\sqrt 2&1\\ \hline B&2+2\sqrt 2&\searrow 2\sqrt 5\nearrow&C&2+2\sqrt 2&0\\ \hline C&2+2\sqrt 2&\searrow 2\sqrt 5\nearrow&D&2+2\sqrt 2&0\\ \hline D&2+2\sqrt 2&\searrow&A&2\sqrt 3&1\\ \hline A&2\sqrt 3&\nearrow&E&4&0\\ \hline B&2+2\sqrt 2&\searrow &G&\sqrt{4+x^2}+\sqrt{4+(2-x)^2}&0\\ \hline C&2+2\sqrt 2&\searrow&P&2\sqrt 3&1\\ \hline D&2+2\sqrt 2&\searrow 2\sqrt 5 \nearrow&H&\sqrt{4+x^2}+\sqrt{4+(2-x)^2}&0\\ \hline P&2\sqrt 3&\nearrow&E&4&0\\ \hline P&2\sqrt 3&\nearrow&G&\sqrt{4+x^2}+\sqrt{4+(2-x)^2}&1\\ \hline P&2\sqrt 3&\nearrow&H&\sqrt{4+x^2}+\sqrt{4+(2-x)^2}&1\\ \hline E&4&\searrow \nearrow&G&\sqrt{4+x^2}+\sqrt{4+(2-x)^2}&1\\ \hline E&4&\searrow \nearrow&H&\sqrt{4+x^2}+\sqrt{4+(2-x)^2}&1\\ \hline \end{array}$$ 多面体顶点中只有 $E$ 满足要求，综上所述，满足 $QA+QP=4$ 的点 $Q$ 的个数为 $8$．

备注    实际上可以对顶点染色，到 $A$ 和 $P$ 点的距离和大于 $4$ 的染为红色，小于 $4$ 的染为蓝色，等于 $4$ 的染为黑色，然后根据单调性，把每条棱划分为单调的线段，最后根据线段的端点颜色确定．