每日一题[2347]先猜后证

设 $0<k\leqslant 2$，则函数 $f(x)=\sqrt{\dfrac{1}{1+kx}}+\sqrt{\dfrac{x}{x+k}}$（$x>0$）的值域为_______．

答案    $\left(1,\dfrac{2}{\sqrt{1+k}}\right]$．

解析    注意到

$$f(x)=\sqrt{\dfrac{1}{1+kx}}+\sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac kx}},$$ 因此 $f(x)=f\left(\dfrac 1x\right)$，只需要考虑 $0<x\leqslant 1$ 的情形．考虑到 $$\lim_{x\to 0}f(x)=1,\quad f(1)=\dfrac{2}{\sqrt{1+k}},$$ 接下来证明 $$1<\sqrt{\dfrac{1}{1+kx}}+\sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac kx}}\leqslant\dfrac{2}{\sqrt{1+k}},$$ 左边即 $$\dfrac{x}{x+k}>1+\dfrac{1}{1+kx}-\dfrac{2}{\sqrt{1+kx}},$$ 也即 $$\dfrac{4}{1+kx}>\left(1+\dfrac1{1+kx}+\dfrac x{x+k}\right)^2,$$ 也即 $$x\cdot \dfrac{4kx^2+(3+6k^2-k^4)x+4k}{(x+k)^2(kx+1)^2}>0,$$ 这显然成立． 对于右边，只需要证明 $$\dfrac{1}{1+kx}+\dfrac{x}{x+k}+2\sqrt{\dfrac{x}{(1+kx)(x+k)}}\leqslant \dfrac{4}{1+k},$$ 即 $$\dfrac{4x}{(1+kx)(x+k)}\leqslant \left(\dfrac4{1+k}-\dfrac1{1+kx}-\dfrac x{x+k}\right)^2,$$ 也即 $$\dfrac{k(x-1)^2\left(x+\dfrac 1x-2+\dfrac{4(2-k)(k+1)^2}{k(3-k)^2}\right)}{(k+1)^2(x+k)^2(1+kx)^2}\geqslant 0.$$ 综上所述，函数 $f(x)$ 的值域为 $\left(1,\dfrac{2}{\sqrt{1+k}}\right]$．