每日一题[2345]二次换元

设 $x,y,z>1$，且 $\dfrac 1x+\dfrac 1y+\dfrac 1z=2$，求证： $$8(x-1)(y-1)(z-1)\leqslant 1.$$

解析    设 $2(x-1)=a$，$2(y-1)=b$，$2(z-1)=c$，则命题即

已知 $a,b,c>0$ 且 $\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}=1$，求证：$abc\leqslant 1$．

我们可以证明它的对偶命题：

已知 $a,b,c>0$ 且 $abc=1$，求证：$\dfrac1{a+2}+\dfrac1{b+2}+\dfrac1{c+2}\leqslant 1$ 且等号取得的条件是 $a=b=c=1$．

不妨设 $a=\dfrac xy$，$b=\dfrac yz$，$c=\dfrac zx$，则 $$LHS=\sum_{\rm cyc}\dfrac{y}{2x+y}-\sum_{\rm cyc}\left(\dfrac 12=\dfrac{\frac 12x}{x+2y}\right)=\dfrac 32-\dfrac 12\sum_{\rm cyc}\dfrac x{x+2y}\leqslant \dfrac 32-\dfrac 12\dfrac{(x+y+z)^2}{\sum_{\rm cyc}x(x+2y)}=1,$$ 命题得证．

另法    令 $\dfrac 1x=a+b$，$\dfrac 1y=b+c$，$\dfrac 1z=c+a$，则条件变为 $a,b,c>0$ 且 $a+b+c=1$，求证： $$8 \prod_{\rm cyc}\left(\dfrac1{a+b}-1\right)\leqslant 1\iff \prod_{\rm cyc}\dfrac{2c}{a+b}\leqslant 1.$$ 而 $$\prod_{\rm cyc}\dfrac{2c}{a+b}\leqslant \prod_{\rm cyc}\dfrac{2c}{2\sqrt{ab}}=1,$$ 命题得证．