每日一题[2344]解方程

已知 $a$ 为实数，解关于 $x$ 的方程 $$\sqrt{{\log_a}\sqrt[4]{ax}+{\log_x}\sqrt[4]{ax}}+\sqrt{{\log_a}\sqrt[4]{\dfrac xa}+{\log_x}\sqrt[4]{\dfrac ax}}=a.$$

答案    $x=a^{a^2}$ 或 $x=a^{\frac{1}{a^2}}$，其中 $a>1$．

解析    根据题意，有 $a,x>0$ 且 $a,x\ne 1$，记 ${\log_a}x=t$，则 $$\sqrt{\dfrac 14(1+t)+\dfrac14\left(\dfrac 1t+1\right)}+\sqrt{\dfrac 14(t-1)+\dfrac14\left(\dfrac 1t-1\right)}=a,$$ 也即 $$\sqrt{t+\dfrac 1t+2}+\sqrt{t+\dfrac 1t-2}=2a,$$ 于是 $t>0$，且 $$\left|\sqrt t+\dfrac{1}{\sqrt t}\right|+\left|\sqrt t-\dfrac1{\sqrt t}\right|=2a,$$ 即 $$\max\left\{\sqrt t,\dfrac{1}{\sqrt t}\right\}=a\iff a^2=\begin{cases} t,&t\geqslant 1,\\ \dfrac{1}{t},&0<t<1,\end{cases}\iff \begin{cases} a>1,\\ t=a^2\lor t=\dfrac{1}{a^2},\end{cases}$$ 从而 $x=a^{a^2}$ 或 $x=a^{\frac{1}{a^2}}$，其中 $a>1$．