每日一题[2342]切线条数

已知函数 $f(x)=x^3+mx^2+(m-1)x+1$ 在 $x=-1$ 处取得极值．

1、求 $m$ 的值．

2、若过 $(1,t)$ 可作曲线 $y=f(x)$ 的三条切线，求实数 $t$ 的取值范围．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=3x^2+2mx+(m-1),$$ 于是 $$f'(-1)=2-m,$$ 因此 $m=2$．

2、函数 $f(x)=x^3+2x^2+x+1$ 的对称中心横坐标为 $-\dfrac 23$，于是对称中心处的切线方程为

$$y=-\dfrac 13\left(x+\dfrac 23\right)+\dfrac{25}{27},$$ 根据三次函数的切线条数性质，有 $$\left(-\dfrac 13\left(x+\dfrac 23\right)+\dfrac{25}{27}\right)\Bigg|_{x=1}<t<f(1),$$ 即 $$\dfrac{10}{27}<t<5,$$ 因此实数 $t$ 的范围是 $\left(\dfrac{25}{27},5\right)$．