每日一题[2340]公切线夹角

如图，求阴影部分的面积．

答案    $\dfrac{32\pi}{\left(2\sqrt 2+\sqrt 3-1\right)^2}$．

解析    先给出一个基本的引理，若两圆相切，则外公切线的夹角 $\theta$ 与两圆的半径 $r_1,r_2$（$r_1<r_2$）的关系为

$$\dfrac{r_1}{r_2}=\tan^2\dfrac{\pi-\theta}4,$$ 这是作图是经常使用的引理．在本题中，所求面积为 $$\pi\cdot \left(\dfrac{2+2\tan^2\dfrac{\pi-\frac{\pi}6}4}2\right)^2=\dfrac{\pi}{\cos^4\dfrac{5\pi}{24}}=\dfrac{32\pi}{\left(2\sqrt 2+\sqrt 3-1\right)^2},$$