每日一题[2338]消参定函

设 $a,b\in\mathbb R$，若 $x{\rm e}^x-\ln x\geqslant ax^2+b+1$ 对任意 $x>0$ 恒成立，则当 $ab$ 取得最大值时，$\dfrac 1a+2\ln b=$ _______．

答案    $-2\ln 2$．

解析    当 $a$ 确定时，$b$ 的最大值为函数 $f_a(x)=x{\rm e}^x-\ln x-ax^2-1$ 的最小值，因此考虑 $a\geqslant 0$ 时，$a\cdot \max f_a(x)$ 何时取得最大值． 函数 $f_a(x)$ 的导函数

$$f_a'(x)={\rm e}^x(1+x)-\dfrac 1x-2ax,$$ 其最小值为 $f_a(t)$，其中 $$a=\dfrac{{\rm e}^t(t^2+t)-1}{2t^2},$$ 于是 $$f_a(t)=\dfrac {{\rm e}^t(t-t^2)-2\ln t-1}2,$$ 因此 $$ab=\dfrac{{\rm e}^t(t^2+t)-1}{2t^2}\cdot \dfrac {{\rm e}^t(t-t^2)-2\ln t-1}2,$$ 设右边为 $g(t)$，则其导函数 $$g'(t)=-\dfrac{\left(2+{\rm e}^tt(-1+t+t^2)\right)\left({\rm e}^tt^2+\ln t\right)}{2t^3},$$ 于是当 $${\rm e}^tt^2+\ln t=0\iff {\rm e}^t\cdot t=\dfrac 1t\cdot\ln \dfrac 1t\iff \begin{cases} {\rm e}^t=\dfrac 1t,\\ \ln t=-t\end{cases}$$ 时，$ab$ 取得最大值．此时 $$\dfrac 1a+2\ln b=2t+2\ln \dfrac t2=-2\ln 2.$$

另法    根据题意，有

$$\forall x>0,{\rm e}^x-\dfrac{1+\ln x}x\geqslant ax+\dfrac bx,$$ 设不等式左侧为 $f(x)$，则其导函数 $$f'(x)=\dfrac{{\rm e}^xx^2+\ln x}{x^2},$$ 当 $${\rm e}^xx^2+\ln x=0\iff {\rm e}^x\cdot x=\dfrac 1x\cdot\ln \dfrac 1x\iff \begin{cases} {\rm e}^x=\dfrac 1x,\\ \ln x=-x\end{cases}$$ 时，$f(x)$ 取得极小值，也为最小值 $1$．取 $x=x_0$，其中 ${\rm e}^{x_0}=\dfrac1{x_0}$ 且 $\ln x_0=-x_0$，则有 $$1\geqslant ax_0+\dfrac b{x_0}\geqslant 2\sqrt{ab},$$ 等号当 $ax_0=\dfrac b{x_0}=\dfrac 12$ 时取得． 接下来证明当 $a=\dfrac{1}{2x_0}$ 且 $b=\dfrac{x_0}2$ 时符合题意．设 $$g(x)={\rm e}^x-\dfrac{1+\ln x}x-\dfrac{x}{2x_0}-\dfrac{x_0}{2x},$$ 则其导函数 $$g'(x)=\dfrac{{\rm e}^{x}x-\dfrac 1x\ln\dfrac 1x-\dfrac 12\left(\dfrac{x}{x_0}-\dfrac{x_0}{x}\right)}{x},$$ 设分子为 $r(x)$，则其导函数 $$r'(x)={\rm e}^x(1+x)+\dfrac{1-\ln x}{x^2}-\dfrac{1}{2x_0}-\dfrac{x_0}{2x^2}>0,$$ 于是当 $x=x_0$ 时，$g(x)$ 取得极小值，亦为最小值 $g(x_0)=0$，符合题意． 综上所述，$ab$ 的最大值为 $\dfrac 14$，且此时 $$\dfrac 1a+2\ln b=2x_0+2\ln\dfrac{x_0}2=-2\ln 2.$$