每日一题[2337]正反两难

在长 $400$ 米的环形跑道，$A,B$ 两点相距 $100$ 米，甲、乙两人分别从 $A,B$ 点出发按逆时针方向跑步，甲的速度为 $5$ 米每秒，乙的速度为 $4$ 米每秒，每人每跑 $100$ 米都要停下来休息 $10$ 秒，那么甲追上乙需要多少秒？

答案    $140$ 秒或 $560$ 秒．

解析    分两种情况讨论．

情形一    甲最终要比乙多跑 $300$ 米．此时甲比乙至少多休息 $2$ 次，在这 $2$ 次休息中，乙多跑了 $2\cdot 4\cdot 10=80$ 米，所以在与甲跑步的相同时间里，甲多跑了 $300+80+380$ 米，需要 $\dfrac{380}{5-4}=380$ 秒，$\dfrac{380\cdot 5}{100}=19$，休息了 $18$ 次，共用时 $380+180=569$ 秒．

情形二    甲最终要比乙多跑 $100$ 米，甲实际跑 $\dfrac{100}{5-4}=20$ 秒，休息 $10$ 秒，乙跑 $\dfrac{100}4=25$ 秒，休息 $10$ 秒．甲实际跑 $100$ 秒时，已经休息 $4$ 次，刚跑完第 $5$ 次，共用 $140$ 秒，这时乙实际跑了 $100$ 秒，第 $4$ 次休息结束，正好赶上． 综上所述，甲追上乙需要 $140$ 秒或 $560$ 秒．