每日一题[2335]分类讨论

如图 $1$，在平面直角坐标系中，$AC=3$，过点 $A$ 作 $AB\perp x$ 轴于点 $B$，$AC\perp y$ 轴于点 $C$，连接 $BC$，$M$ 是 $OB$ 上一点，$\angle BCM=\angle BCA=30^\circ$．

1、求点 $A,M$ 的坐标．

2、如图 $2$，过 $M$ 作 $MN\parallel BC$，若 $BC$ 上有一动点 $E$，过点 $E$ 作 $EF\perp MN$，垂足为 $F$，连接 $AE,FC$，求 $AE+EF+FC$ 的最小值．

3、如图 $3$，将 $\triangle ABC$ 绕着点 $C$ 顺时针旋转，记旋转后的 $\triangle ABC$ 为 $\triangle A'B'C'$．当射线 $CA'$ 和 $CB'$ 都与 $x$ 轴相交时，设交点分别为 $G,H$．在整个旋转过程中，$\triangle GBC$ 能否为等腰三角形，若存在，请直接写出此时 $\dfrac{HG}{HC}$ 的值；若不存在，请说明理由．

解析

1、在直角 $\triangle ABC$ 中，可得

$$AB=\dfrac{AC}{\sqrt 3}=\sqrt 3,$$ 而在直角 $\triangle OCM$ 中，有 $$OM=\dfrac{OC}{\sqrt 3}=\dfrac{AB}{\sqrt 3}=1,$$ 于是 $A(3,\sqrt 3)$，$M(1,0)$．

2、作 $CP\perp MN$ 于 $P$，则 $CPFE$ 为矩形，因此 $FC=EP$．

注意到 $EF$ 为定值，因此

$$AE+EF+FC=(AE+EP)+EF\geqslant AP+EF=AP+PC,$$ 等号当 $E$ 点在线段 $AP$ 上时取得．而 $$CH=d(A,BC)=\dfrac {AC}2=\dfrac 32,\quad AH=\sqrt 3\cdot CH=\dfrac{3\sqrt 3}2,$$ 且 $$PC=d(M,BC)=\dfrac 23\cdot d(O,AB)=\dfrac 23\cdot CH=1,$$ 从而 $$AP+PC=\sqrt{AH^2+(HC+CP)^2}+CP=\sqrt{\dfrac{27}4+\dfrac {25}4}+1=\sqrt{13}+1,$$ 因此所求最小值为 $\sqrt{13}+1$．

3、如图，按等腰三角形的腰分类讨论．

若等腰三角形 $\triangle BCG$ 中 $BC=BG$，则 $\angle CGH=15^\circ$，因此

$$\dfrac{HG}{HC}=\dfrac{1}{2\sin15^\circ}=\dfrac{\sqrt 6+\sqrt 2}2.$$ 若等腰三角形 $\triangle BCG$ 中 $CB=CG$，则 $\angle CGH=60^\circ$，因此 $$\dfrac{HG}{HC}=\dfrac{1}{2\sin60^\circ}=\dfrac{1}{\sqrt 3}.$$ 若等腰三角形 $\triangle BCG$ 中 $GC=GB$，则 $CB'$ 与 $x$ 轴平行，不符合题意． 综上所述，$\dfrac{HG}{HC}$ 的值为 $\dfrac{\sqrt 6+\sqrt 2}2$ 或 $\dfrac{\sqrt 3}3$．