每日一题[2321]双重对称

证明：对任意 $x\in\mathbb R^{\ast}$，有

$$\max\{0,\ln |x|\}\geqslant \dfrac{\sqrt 5-1}{2\sqrt 5}\ln |x|+\dfrac1{2\sqrt 5}\ln |x^2-1|+\dfrac 12\ln\dfrac{\sqrt 5+1}2,$$ 且等号成立的充要条件是 $x=\pm\dfrac{\sqrt 5+1}2$ 或 $x=\pm \dfrac{\sqrt 5-1}2$．

解析

根据对称性，只需要考虑 $x>0$ 且 $x\ne 1$ 的情形，记 $\dfrac{\sqrt 5+1}2=a$，则 $\dfrac{\sqrt 5-1}2=\dfrac 1a$．

情形一    $x\in (0,1)$．此时命题即

$$\forall x\in (0,1),\dfrac{\sqrt 5-1}{2\sqrt 5}\ln x+\dfrac1{2\sqrt 5}\ln (1-x^2)+\dfrac 12\ln\dfrac{\sqrt 5+1}2\leqslant 0,$$ 且等号取得的条件是 $x=\dfrac{\sqrt 5-1}2$．该不等式即 $$\sqrt 5\ln x+\ln \left(\dfrac 1x-x\right)+\sqrt 5\ln\dfrac{\sqrt 5+1}2\leqslant 0,$$ 也即 $$x^{\sqrt 5-1}-x^{\sqrt 5+1}\leqslant \left(\dfrac{\sqrt 5+1}2\right)^{-\sqrt 5},$$ 记左侧为函数 $f(x)$，则其导函数 $$f'(x)=\left(\sqrt 5-1\right)x^{\sqrt 5-2}-\left(\sqrt 5+1\right)x^{\sqrt 5}=\left(\sqrt 5+1\right)x^{\sqrt 5-2}\left(\left(\dfrac{\sqrt 5-1}2\right)^2-x^2\right),$$ 因此等 $x=\dfrac{\sqrt 5-1}2$ 时函数 $f(x)$ 取得极大值，也为最大值 $\left(\dfrac{\sqrt 5+1}2\right)^{-\sqrt 5}$，命题得证．

情形二     $x\in (1,+\infty)$．此时命题即

$$\forall x\in (1,+\infty),\dfrac{\sqrt 5-1}{2\sqrt 5}\ln x+\dfrac1{2\sqrt 5}\ln(x^2-1)+\dfrac 12\ln\dfrac{\sqrt 5+1}2\leqslant \ln x,$$ 且等号取得的条件是 $x=\dfrac{\sqrt 5+1}2$．该不等式即 $$-\sqrt 5\ln x+\ln\left(x-\dfrac 1x\right)\leqslant \left(\dfrac{\sqrt 5 +1}2\right)^{-\sqrt 5},$$ 左侧即 $f\left(\dfrac 1x\right)$，因此其最大值当 $\dfrac 1x=\dfrac{\sqrt 5-1}2$，即 $x=\dfrac{\sqrt 5+1}2$ 时取得，最大值为 $\left(\dfrac{\sqrt 5+1}2\right)^{-\sqrt 5}$，命题得证．

综上所述，原命题得证．