每日一题[2320]截长补短

如图所示，$D$ 是 $\triangle ABC$ 中边 $BC$ 的中点，$K$ 为 $AC$ 与 $\triangle ABD$ 的外接圆 $O$ 的交点，$EK$ 平行于 $AB$ 且与圆 $O$ 交于 $E$．若 $AD=DE$，求证：$AB+AK=KC$．

解析

连接 $DK$ 并延长，与 $BA$ 的延长线交于点 $P$，连接 $AE$，如图．

由 $AD=DE$，得 $\angle EAD=\angle AED$，由 $EK\parallel AB$ 得 $\angle EKD=\angle BPD$，又

$$\angle EKD=\angle EAD=\angle AED=\angle ABD=\angle AKP,$$ 所以 $\angle BPD=\angle AKP$，故 $AK=AP$．作 $PH\parallel AC$，且 $PH=PB$，连接 $HK,BK,BH,DH$．在 $\triangle PBK$ 与 $\triangle PHK$ 中，有 $$PB=PH,\quad PK=PK,$$ 由 $PH\parallel AC$，可得 $$\angle KPH=\angle AKP=\angle KPB,$$ 所以 $\triangle PBK\cong\triangle PHK$，从而 $BK=HK$．又由 $PB=PH$，得 $PD$ 是线段 $BH$ 的垂直平分线，即有 $PD\perp BH$，$BD=DH$，由 $D$ 是 $BC$ 的中点，得 $$DC=BD=DH,$$ 所以 $BH\perp HC$，故 $PD\parallel HC$，再由 $PH\parallel KC$，得四边形 $PKCH$ 为平行四边形，所以 $$KC=PH=PB=AB+AP,$$ 即 $AB+AK=KC$．