每日一题[2317]光学性质

已知椭圆 $\Gamma:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$ 的焦点坐标为 $F_1\left(-c,0\right)$，$F_2\left(c,0\right)$，若直线 $l$ 与椭圆 $\Gamma$ 相切，点 $F_1,F_2$ 到直线 $l$ 的距离分别为 $d_1,d_2$．

1、证明：$d_1\cdot d_2=b^2$．

2、证明：$2b\leqslant d_1+d_2\leqslant 2a$．

3、证明：$\dfrac{a-c}{a+c}\leqslant\dfrac{d_1}{d_2}\leqslant\dfrac{a+c}{a-c}$．

解析

1、设 $F_2$ 关于切线的对称点为 $F_2'$，连接 $F_1F_2'$，则 $F_1F_2'=2a$，进而 $OH_2=a$．同理 $OH_1=a$，因此点 $H_2,H_1$ 在定圆 $x^2+y^2=a^2$ 上．

延长 $H_1F_1$ 交圆 $x^2+y^2=a^2$ 于点 $Q$，设椭圆的长轴端点分别为 $A,B$，则根据椭圆的对称性，有

$$H_2F_2=F_1Q,$$ 根据相交弦定理，可得 $$H_1F_1\cdot H_2F_2=H_1F_1\cdot F_1Q=AF_1\cdot F_1B=b^2.$$

2、根据第 $(1)$ 小题的结论，$d_1+d_2=H_1Q\leqslant AB=2a$ 且

$$d_1+d_2\ge2\sqrt{d_1\cdot d_2}=2b,$$ 命题得证．

3、根据第 $(1)$ 小题的结果，设 $\angle H_1F_1F_2=\theta$，则

$$\dfrac{d_1}{d_2}=\dfrac{a+c\cos\theta}{a-c\cos\theta},$$ 其取值范围是 $\left[\dfrac{a-c}{a+c},\dfrac{a+c}{a-c}\right]$，命题成立．