每日一题[2316]外接蒙日圆

椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左右焦点分别为 $F_1,F_2$，$P$ 为椭圆短轴的一个顶点，$PF_1$ 的延长线与椭圆相交于 $G$，$\triangle PGF_1$ 的周长为 $8$，$|PF_1|=3|GF_1|$．

1、求椭圆 $E$ 的方程．

2、过椭圆 $E$ 外一点 $A$ 作矩形 $ABCD$，使椭圆 $E$ 与矩形 $ABCD$ 的四条边都相切，求矩形 $ABCD$ 的面积的取值范围．

解析

1、根据题意，记 $\theta=\angle PF_1F_2$，椭圆的半焦距为 $e$，则 $\cos\theta=\dfrac ca=e$，于是

$$|PF_1|=3|GF_1|\iff \dfrac {b^2}{a-c\cos\theta}=3\cdot \dfrac{b^2}{a+c\cos\theta}\iff a^2=2c^2,$$ 又 $\triangle PGF_1$ 的周长为 $4a$，因此 $a=2$，从而 $c=\sqrt 2$，椭圆 $E$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}2=1$．

2、根据椭圆的蒙日圆定义，$A,B,C,D$ 均在圆 $x^2+y^2=6$ 上，因此矩形 $ABCD$ 为圆 $x^2+y^2=6$ 的圆内接矩形，其面积的取值范围是 $(0,12]$．