每日一题[2315]消元求范围

已知钝角三角形 $ABC$ 满足 $\sin A=4\sin B\sin C$，则 $\sin (2B)+\sin (2C)$ 的取值范围是[[nn]]．

答案    $\left(1,\dfrac{1+\sqrt 5}2\right]$．

解析    根据题意，有

$$\sin A=2\big(\cos(B-C)-\cos(B+C)\big)\iff 2\cos(B-C)=\sin A-2\cos A,$$ 此时 $0\leqslant |B-C|<\pi-A$，可得 $$-2\cos A<\sin A-2\cos A\leqslant 2,$$ 从而 $A\in\left(\dfrac{\pi}2,2\arctan 2\right]$．进而 $$\begin{split}\sin(2B)+\sin(2C)&=2\sin(B+C)\cos(B-C)\\ &=\sin A(\sin A-2\cos A)\\ &=\dfrac{1-\sqrt 5\sin\left(2A+\arctan\dfrac 12\right)}2,\end{split}$$ 进而其取值范围是 $\left(1,\dfrac{1+\sqrt 5}2\right]$．