每日一题[2314]消元求范围

已知锐角三角形 $ABC$ 满足 $\sin A=4\sin B\sin C$，则 $\sin(2B)+\sin(2C)$ 的取值范围是[[nn]]．

答案    $\left(\dfrac{8}{17},1\right)$．

解析    根据题意，有

$$\sin A=2\big(\cos(B-C)-\cos(B+C)\big)\iff 2\cos(B-C)=\sin A-2\cos A,$$ 于是由 $0\leqslant |B-C|<A$ 可得 $$2\cos A<\sin A-2\cos A\leqslant 2,$$ 从而 $A\in\left(\arctan 4,\dfrac{\pi}2\right)$，进而 $$\sin(2B)+\sin(2C)=2\sin(B+C)\cos(B-C)=\sin A(\sin A-2\cos A),$$ 进而其取值范围是 $\left(\dfrac{8}{17},1\right)$．