每日一题[2311]消元与对称

设 $x,y,z\in\left(0,+\infty\right)$，$x^2+y^2+z^2=1$，则 $f\left(x,y,z\right)=x+y+z-xyz$ 的值域是______．

答案    $\left(1,\dfrac{8\sqrt 3}9\right]$．

解析    根据题意，有

$$y^2+z^2=1-x^2,$$ 且 $$f(x,y,z)=x+(y+z)-x\cdot \dfrac{(y+z)^2-(y^2+z^2)}2=-\dfrac x2(y+z)^2+(y+z)+-\dfrac 12x^3+\dfrac 32x,$$ 而 $$\sqrt{1-x^2}<y+z\leqslant \sqrt{2(1-x^2)},$$ 因此当 $y\to 0$ 或 $z\to 0$ 时，$f$ 取得下确界；当 $y=z$ 时，$f$ 取得最大值．进而可得 $(x,y,z)\to (1,0,0)_{\rm cyc}$ 时，$f$ 取得下确界 $1$；当 $(x,y,z)\to \left(\dfrac{1}{\sqrt 3},\dfrac{1}{\sqrt 3},\dfrac{1}{\sqrt 3}\right)$ 时，$f$ 取得最大值 $\dfrac{8\sqrt 3}9$．因此 $f(x,y,z)$ 的值域为 $\left(1,\dfrac{8\sqrt 3}9\right]$．