每日一题[2281]极化恒等式

已知 $\triangle AOB$，存在非零向量 $\overrightarrow{OC}$，满足 $\left|\overrightarrow{OA}\right|=4$，$\left|\overrightarrow{OB}\right|=2\left|\overrightarrow{OC}\right|$ 且 $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=3$，则 $\left|\overrightarrow{AB}\right|$ 的最小值为（       ）

A．$\dfrac{3\sqrt 5}5$

B．$3$

C．$2$

D．$\dfrac{2\sqrt 6}3$

答案    D．

解析    设 $\left|\overrightarrow{OB}\right|=2\left|\overrightarrow{OC}\right|=2r$，$\left|\overrightarrow{AB}\right|=2m$，设 $AB$ 的中点为 $M$，则根据极化恒等式，有

$$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=CM^2-\dfrac 14AB^2\iff 3=CM^2-m^2,$$ 根据平行四边形的性质，有 $$(2OM)^2+AB^2=2(OA^2+OB^2)\iff OM=\sqrt{8+2r^2-m^2},$$ 而 $C$ 在以 $O$ 为圆心 $r$ 为半径的圆上，于是 $$OM-r\leqslant CM\leqslant OM+r,$$ 也即 $$\sqrt{8+2r^2-m^2}-r\leqslant \sqrt{3+m^2}\leqslant \sqrt{8+2r^2-m^2}+r,$$ 记 $\sqrt{3+m^2}=t$，则 $$(t-r)^2\leqslant 11+2r^2-t^2\leqslant (t+r)^2,$$ 也即 $$\begin{cases} r^2+2tr+11-2t^2\geqslant 0,\\ r^2-2tr+11-2t^2\leqslant 0,\end{cases}$$ 该不等式组有解需要 $$\Delta=4t^2-4(11-2t^2)\geqslant 0\iff t^2\geqslant \dfrac{11}3,$$ 从而 $$3+m^2\geqslant \dfrac{11}3\implies m^2\geqslant \dfrac 23\implies 2m\geqslant \dfrac{2\sqrt 6}3.$$ 而 $r=t=\sqrt{\dfrac{11}3}$ 时等号可以取到，因此所求最小值为 $\dfrac{2\sqrt 6}3$．