每日一题[2280]柯西不等式

已知正数 $x,y,t$ 满足：$x^2+y^2+\dfrac 34=2x\sqrt{1-t}+2y\sqrt t$，则 $z=(x+1)^2+(y+2)^2$ 的值域为_______．

答案    $\left[\dfrac{21}4+\sqrt 5,\dfrac{29}4+3\sqrt 5\right]$．

根据柯西不等式，有 $$2x\sqrt{1-t}+2y\sqrt t\leqslant \sqrt{(2x)^2+(2y)^2}=2\sqrt{x^2+y^2},$$ 而 $$\begin{split} 2x\sqrt{1-t}+2y\sqrt t&\geqslant \min\{2x,2y\}\cdot \left(\sqrt{1-t}+\sqrt t\right)\\ &=\min\{2x,2y\}\cdot \sqrt{1+2\sqrt{t(1-t)}}\\ &\geqslant \min\{2x,2y\},\end{split}$$ 而当 $t\to 0$ 时，左边为 $2x$，当 $t=1$ 时，左边为 $2y$．这样就有 $$\min\{2x,2y\}\leqslant x^2+y^2+\dfrac 34\leqslant 2\sqrt{x^2+y^2},$$ 注意到 $$x^2+y^2+\dfrac 34\geqslant \min\{2x^2,2y^2\}+\dfrac 34\geqslant 2\sqrt{\min\{2x^2,2y^2\}\cdot \dfrac 34}>\min\{2x,2y\} ,$$ 因此题中条件对 $(x,y)$ 的约束为 $$x^2+y^2+\dfrac 34\leqslant 2\sqrt{x^2+y^2}\iff\dfrac 12\leqslant \sqrt{x^2+y^2}\leqslant \dfrac 32,$$ 所求也即一个圆环及其内部区域在第一象限的部分到点 $(-1,-2)$ 的距离的平方的取值范围，为 $\left[\left(\sqrt 5+\dfrac 12\right)^2,\left(\sqrt 5+\dfrac 32\right)^2\right]$ 也即 $\left[\dfrac{21}4+\sqrt 5,\dfrac{29}4+3\sqrt 5\right]$．