已知三棱锥 P−ABC 内接于球 O,PA:PB:PC=1:2:3,当三棱锥 P−ABC 的侧面积最大时,球 O 的体积为 56√143,则此时 △ABC 的面积为( )
A.12
B.13
C.14
D.15
答案 C.
解析 当三棱锥 P−ABC 的侧面积最大时,有 PA,PB,PC 互相垂直,设 PA,PB,PC 长分别为 m,2m,3m,△ABC 中 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,则a=√5m,b=√10m,c=√13m,此时[△ABC]=14√4a2b2−(a2+b2−c2)2=72m2,三棱锥 P−ABC 的外接球 O 的直径d=√PA2+PB2+PC2=√14m,因此由球 O 的体积为 56√143 可得16πd3=56√143⟹m=2⟹[△ABC]=14.