每日一题[2276]三垂直

已知三棱锥 PABC 内接于球 OPA:PB:PC=1:2:3,当三棱锥 PABC 的侧面积最大时,球 O 的体积为 56143,则此时 ABC 的面积为(       )

A.12

B.13

C.14

D.15

答案    C.

解析    当三棱锥 PABC 的侧面积最大时,有 PA,PB,PC 互相垂直,设 PA,PB,PC 长分别为 m,2m,3mABCA,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,则a=5m,b=10m,c=13m,此时[ABC]=144a2b2(a2+b2c2)2=72m2,三棱锥 PABC 的外接球 O 的直径d=PA2+PB2+PC2=14m,因此由球 O 的体积为 56143 可得16πd3=56143m=2[ABC]=14.

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