每日一题[2276]三垂直

已知三棱锥 $P-ABC$ 内接于球 $O$，$PA:PB:PC=1:2:3$，当三棱锥 $P-ABC$ 的侧面积最大时，球 $O$ 的体积为 $\dfrac{56\sqrt{14}}{3}$，则此时 $\triangle ABC$ 的面积为（       ）

A．$12$

B．$13$

C．$14$

D．$15$

答案    C．

解析    当三棱锥 $P-ABC$ 的侧面积最大时，有 $PA,PB,PC$ 互相垂直，设 $PA,PB,PC$ 长分别为 $m,2m,3m$，$\triangle ABC$ 中 $A,B,C$ 所对的边长分别为 $a,b,c$，则

$$a=\sqrt 5m,\quad b=\sqrt{10}m,\quad c=\sqrt{13}m,$$ 此时 $$[\triangle ABC]=\dfrac14\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}=\dfrac 72m^2,$$ 三棱锥 $P-ABC$ 的外接球 $O$ 的直径 $$d=\sqrt{PA^2+PB^2+PC^2}=\sqrt{14}m,$$ 因此由球 $O$ 的体积为 $\dfrac{56\sqrt{14}}3$ 可得 $$\dfrac 16\pi d^3=\dfrac{56\sqrt{14}}3\implies m=2\implies [\triangle ABC]=14.$$