每日一题[2272]最大值的最小值

函数 $f(x)=(a+\sin x)(a+\cos x)$ 的最大值 $g(a)=$ [[nn]]；函数 $g(a)$ 的最小值是_______．

答案    $a^2+\sqrt 2|a|+\dfrac 12$；$\dfrac 12$．

解析    根据题意，有 $$f(x)=a^2+a(\sin x+\cos x)+\sin x\cos x,$$ 设 $y=f(x)$，且 $\sin x+\cos x=t$，则 $t\in \left[-\sqrt 2,\sqrt 2\right]$，且 $$y=a^2+at+\dfrac{t^2-1}2\iff y=\dfrac 12t^2+at+a^2-\dfrac 12,$$ 该二次函数开口向上，因此在闭区间上的最大值一定在端点处取得，从而 $$g(a)=\max\left\{y\big|_{t=-\sqrt 2},y\big|_{t=\sqrt 2}\right\}=\max\left\{\left(a-\dfrac{\sqrt 2}2\right)^2,\left(a+\dfrac{\sqrt 2}2\right)^2\right\}=a^2+\sqrt 2|a|+\dfrac 12,$$ 进而其最小值为 $\dfrac 12$，当 $a=0$ 时取得．